演習課題1

次のように\(f\)を定めると\(n\to\infty\)のとき \[e^{i\frac{x}{n}} \to e^{0} = 1 \eqqcolon f(x)\] と各点収束する。

次のように\(g\)を定めると、\({}^{\forall}n\in\mathbb{N}\)について \[\left\lvert{e^{i\frac{x}{n}}}\right\rvert = 1 \eqqcolon g(x)\] \(\mu\)は有限測度であるから、 \[\int_{\mathbb{R}}g(x)\mathrm{d}{\mu(x)} = \int_{\mathbb{R}}1\mathrm{d}{\mu(x)} = \mu(\mathbb{R}) < \infty\] したがって\(g\in L^1\)である。

以上より、DCTより \[\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}e^{i\frac{x}{n}}\mathrm{d}{\mu(x)} = \int_{\mathbb{R}}f(x)\mathrm{d}{\mu(x)} = \mu(\mathbb{R})\]