演習課題10

(1)

$$\Vert x^n{\Vert }_{L^p([0,1])}={\left({\int }_0^1{x}^{np}\mathrm{d}\mu (x)\right)}^{\frac{1}{p}}=\frac{1}{(np+1{)}^{\frac{1}{p}}}$$ $$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\Vert x^n{\Vert }_{L^p([0,1])}}{n}& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(np+1{)}^{\frac{1}{p}}}\\ & \le \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n(np{)}^{\frac{1}{p}}}\\ & =\frac{1}{p^{\frac{1}{p}}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{p}}}\\ & <\mathrm{\infty }\end{array}$$

(2)

$\log$のTaylor展開より、$x\in [0,1)$に対して $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}=-\log (1-x)$$ したがって $$\begin{array}{rl}{\Vert \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}([0,1])}& =\Vert -\log (1-x){\Vert }_{L^{\mathrm{\infty }}([0,1])}\\ & =inf\{a\ge 0|\mu ([-\log (1-x)>a])=0\}\\ & =inf\mathrm{\varnothing }\\ & =\mathrm{\infty }\end{array}$$ であるから、 $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}\notin L^{\mathrm{\infty }}([0,1])$$