演習課題10

(1)

\[\|{x^n}\|_{L^p{(\lbrack 0,1\rbrack)}} = \left(\int_{0}^{1}x^{np}\mathop{\mathrm{d}{\mu(x)}}\right)^{\frac{1}{p}} = \frac{1}{(np+1)^{\frac{1}{p}}}\] \[\begin{split} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\|{x^n}\|_{L^p{(\lbrack 0,1\rbrack)}}}{n} &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(np+1)^{\frac{1}{p}}} \\ &\leq \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(np)^{\frac{1}{p}}} \\ &= \frac{1}{p^{\frac{1}{p}}}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{1+\frac{1}{p}}} \\ &< \infty \end{split}\]

(2)

\(\log\)のTaylor展開より、\(x\in\lbrack0,1)\)に対して \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} = -\log(1-x)\] したがって \[\begin{split} \left\|{\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}}\right\|_{L^{\infty}{(\lbrack 0,1\rbrack)}} &= \|{-\log(1-x)}\|_{L^{\infty}{(\lbrack 0,1\rbrack)}} \\ &= \inf\bigl\{a\geq0\bigm\vert\mu([-\log(1-x)>{a}])=0\bigr\} \\ &= \inf\emptyset \\ &= \infty \end{split}\] であるから、 \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n} \notin L^{\infty}(\lbrack0,1\rbrack)\]