演習課題11

(1)

任意のCauchy列\(\{x_n\}\subset X\)および\(\varepsilon>0\)を与える。このとき\({}^{\forall}m\in\mathbb{N}\)に対して、 \[{}^{\exists}N_m\in\mathbb{N},\ {}^{\forall}n_1,n_2\geq N_m,\ \|{x_{n_1}-x_{n_2}}\|<\frac{\varepsilon}{2^m} \tag{1}\] が成り立つ。ただし、 \[N_1 \leq N_2 \leq N_3 < \cdots\] を満たすように取ることができる。

数列\(\{a_m\}\subset X\)を \[a_m \coloneqq \begin{dcases} x_{N_1} & (m=1) \\ x_{N_m} - x_{N_{m-1}} & (m\geq 2) \end{dcases}\] と定める。このとき、(1)より \[\begin{split} \sum_{m=1}^{\infty}\|{a_m}\| &= \|{x_{N_1}}\| + \sum_{m=2}^{\infty}\|{x_{N_m}-x_{N_{m-1}}}\| \\ &\leq \|{x_{N_1}}\| + \sum_{m=2}^{\infty}\frac{\varepsilon}{2^{m-1}} \\ &= \|{x_{N_1}}\| + \varepsilon< \infty \end{split}\] であるから、\((*)\)より\({}^{\exists}x\in X\)に対して \[x = \lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^{m}a_k = \lim_{m\to\infty}x_{N_m}\] が成り立つ。したがって \[{}^{\exists}M\in\mathbb{N},\ {}^{\forall}m\geq M,\ \|{x_{N_m}-x}\|<\frac{\varepsilon}{2} \tag{2}\] が成り立つ。

\({}^{\forall}n\geq N_M\)に対し、 \[\begin{split} \|{x_n-x}\| &\leq \underbrace{\|{x_n-x_{N_M}}\|}_{(1)} + \underbrace{\|{x_{N_M}-x}\|}_{(2)} \\ &< \frac{\varepsilon}{2^M} + \frac{\varepsilon}{2} \leq \varepsilon \end{split}\] が成り立つ。したがって、\(\{x_n\}\)は収束列である。

以上より、\((X,\|\cdot\|)\)が完備であり、Banach空間であることが示された。