演習課題15
最終更新: 2024年11月13日
(1)
\({}^{\forall}\varepsilon\in(0,\|{f}\|_{L^{\infty}})\)に対し \[\begin{split} \|{f}\|_{L^p} &= \left(\int_{X}\lvert{f(x)}\rvert^p\mathop{\mathrm{d}{\mu(x)}}\right)^{\frac{1}{p}} \\ &\geq \left(\int_{E_{\varepsilon}}\lvert{f(x)}\rvert^p\mathop{\mathrm{d}{\mu(x)}}\right)^{\frac{1}{p}} \\ &\geq \left(\int_{E_{\varepsilon}}(\|{f}\|_{L^{\infty}}-\varepsilon)^p\mathop{\mathrm{d}{\mu(x)}}\right)^{\frac{1}{p}} \\ &= (\|{f}\|_{L^{\infty}}-\varepsilon)\mu(E_{\varepsilon})^{\frac{1}{p}} \end{split}\]
(2)
方針 \[\limsup_{p\to\infty}\|{f}\|_{L^p}\leq\|{f}\|_{L^{\infty}}\leq\liminf_{p\to\infty}\|{f}\|_{L^p}\] を示す。1つ目の不等号は提出課題で示したので、2つ目の不等号を示せば良い。
\({}^{\forall}\varepsilon\in(0,\|{f}\|_{L^{\infty}})\)を与える。\(\|{f}\|_{L^{\infty}}\)の定義より \[\|{f}\|_{L^{\infty}}-\varepsilon\notin\bigl\{a\geq0\bigm\vert\mu([\lvert{f}\rvert>a])=0\bigr\} \\\] よって\(\|{f}\|_{L^{\infty}}-\varepsilon\geq0\)より \[\mu([\lvert{f}\rvert>\|{f}\|_{L^{\infty}}-\varepsilon])>0\] \(E_{\varepsilon}\)の定義より \[\mu(E_{\varepsilon})>0\] したがって、 \[\begin{split} \liminf_{p\to\infty}\|{f}\|_{L^p} &\geq(\|{f}\|_{L^{\infty}}-\varepsilon)\liminf_{p\to\infty}\mu(E_{\varepsilon})^{\frac{1}{p}} \\ &=\|{f}\|_{L^{\infty}}-\varepsilon \end{split}\] 上式は任意の\(\varepsilon\in(0,\|{f}\|_{L^{\infty}})\)において成り立つから \[\liminf_{p\to\infty}\|{f}\|_{L^p}\geq\|{f}\|_{L^{\infty}} \tag{1}\]
提出問題より \[\limsup_{p\to\infty}\|{f}\|_{L^p}\leq\|{f}\|_{L^{\infty}} \tag{2}\] であるから、式(1),(2)より \[\lim_{p\to\infty}\|{f}\|_{L^p}=\|{f}\|_{L^{\infty}}\]
(3)
\[\begin{split} (\text{左辺}) &= \lim_{\lambda\to\infty}\log\left(\int_{X}\left(e^{f(x)}\right)^{\lambda}\mathop{\mathrm{d}{\mu(x)}}\right)^{\frac{1}{\lambda}} \\ &= \lim_{\lambda\to\infty}\log\|{e^{f}}\|_{L^{\lambda}} \\ \end{split}\] (2)より \[(\text{左辺}) = \log\|{e^{f}}\|_{L^{\infty}}\] \(f\)が連続であるから\(e^{f}\)も連続である。したがって \[(\text{左辺}) = \log\sup_{x\in X}e^{f(x)}\] \(\log\)は単調増加関数であるから \[\begin{split} (\text{左辺}) &= \sup_{x\in X}\log e^{f(x)} \\ &= \sup_{x\in X}f(x) \\ \end{split}\]