演習課題16

まず、\({}^{\forall}x\in\lbrack{f*g\neq 0}\rbrack\)を与える。 \[\int_{\mathbb{R}}f(x-y)g(y)\mathop{\mathrm{d}{y}}\neq0\] であるから、\({}^{\exists}y\in\mathbb{R}\)に対して\(f(x-y)g(y)\neq0\)が成り立つ。よって\(f(x-y)\neq0,\)\(g(y)\neq0\)。すなわち \[\begin{aligned} x-y&\in\lbrack{f\neq 0}\rbrack,& y&\in\lbrack{g\neq 0}\rbrack\end{aligned}\] である。したがって \[x\in\lbrack{f\neq 0}\rbrack+\lbrack{g\neq 0}\rbrack\] 以上より \[\lbrack{f*g\neq 0}\rbrack\subset\lbrack{f\neq 0}\rbrack+\lbrack{g\neq 0}\rbrack \tag{1}\]

次に、\({}^{\forall}x\in\mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{f*g\neq 0}\rbrack\)を与える。このとき、ある列\(\{x_n\}\subset\lbrack{f*g\neq 0}\rbrack\)が存在して \[\lim_{n\to\infty}x_n=x\] が成り立つ。このとき、(1)よりある列\(\{y_n\}\subset\lbrack{f\neq 0}\rbrack\), \(\{z_n\}\subset\lbrack{g\neq 0}\rbrack\)が存在して\(x_n=y_n+z_n\)が成り立つ。\(f\in C_C(\mathbb{R})\)であるから\(\mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{f\neq 0}\rbrack\)はコンパクトゆえに有界である。したがって\(\{y_n\}\)は有界であるからBolzano-Weierstrassの定理より収束する部分列\(\{y_{m_n}\}\)を持つ。すなわち \[\lim_{n\to\infty}y_{m_n} \eqqcolon y\] が成り立つ。このとき、 \[\begin{split} \lim_{n\to\infty}z_{m_n} &= \lim_{n\to\infty}(x_{m_n}-y_{m_n}) \\ &= x-y \end{split}\] が成り立つ。\(\{y_{m_n}\}\subset\lbrack{f\neq 0}\rbrack\), \(\{z_{m_n}\}\subset\lbrack{g\neq 0}\rbrack\)であるから、\(y\in\mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{f\neq 0}\rbrack\), \(x-y\in\mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{g\neq 0}\rbrack\)である。したがって \[x = y + (x-y) \in \mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{f\neq 0}\rbrack + \mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{g\neq 0}\rbrack\] 以上より \[\mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{f*g\neq 0}\rbrack\subset\mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{f\neq 0}\rbrack+\mathop{\mathrm{Cl}}\lbrack{g\neq 0}\rbrack\] すなわち \[\mathop{\mathrm{supp}}(f*g)\subset\mathop{\mathrm{supp}}(f)+\mathop{\mathrm{supp}}(g)\]