演習課題2
2024年11月17日
関数の連続性 \[\begin{split} &\lim_{t'\to t}F(t')=F(t) \\ &\iff {}^{\forall}\{t_n\}\subset\mathbb{R}\ \text{s.t.}\ \lim_{n\to\infty}t_n=t,\ \lim_{n\to\infty}F(t_n)=F(t) \end{split}\]
\({}^{\forall}t\in\mathbb{R}\)および\({}^{\forall}\{t_n\}\subset\mathbb{R}\)であって\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}t_n=t\)を満たすものを与える。
\(n\to\infty\)のとき \[\sin(xt_n)f(x)\to\sin(xt)f(x)\] に各点収束する。また、\({}^{\forall}n\in\mathbb{N}\)に対して \[\lvert{\sin(xt_n)f(x)}\rvert\leq f(x)\] であり、\(f\in L^1(\mathbb{R})\)である。DCTより \[\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}\sin(xt_n)f(x)\mathrm{d}{x}=\int_{\mathbb{R}}\sin(xt)f(x)\mathrm{d}{x}\] つまり \[\lim_{n\to\infty}F(t_n)=F(t)\]
したがって\({}^{\forall}t\in\mathbb{R}\)に対して \[\lim_{t'\infty t}F(t')=F(t)\]