演習課題3

(1)

\[\lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}\frac{\sin\frac{x}{n}}{(1+\frac{x}{n})^n}\mathop{\mathrm{d}{x}} = \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\frac{x}{n}}{(1+\frac{x}{n})^n}\mathbb{1}_{[0,n]}\mathop{\mathrm{d}{x}}\]

\(n\geq2,\ x\geq0\)に対して \[\begin{split} \left(1+\frac{x}{n}\right)^n &\geq 1 + {}_{n}\mathrm{C}{}_{1}\frac{x}{n} + {}_{n}\mathrm{C}{}_{2}\frac{x^2}{n^2} \\ &\geq 1 + \frac{1}{4}x^2 \end{split}\] であるから \[\begin{split} \left\lvert{\frac{\sin\frac{x}{n}}{(1+\frac{x}{n})^n}\mathbb{1}_{[0,n]}}\right\rvert &\leq \frac{1}{1+\frac{1}{4}x^2} \\ \end{split}\] である。また \[\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{4}x^2}\mathop{\mathrm{d}{x}} = \pi < \infty\] であるから、DCTより \[\begin{split} \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\frac{x}{n}}{(1+\frac{x}{n})^n}\mathbb{1}_{[0,n]}\mathop{\mathrm{d}{x}} &= \int_{0}^{\infty}\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{x}{n}}{(1+\frac{x}{n})^n}\mathbb{1}_{[0,n]}\mathop{\mathrm{d}{x}} \\ &= \int_{0}^{\infty}\frac{0}{e^x}\mathop{\mathrm{d}{x}} \\ &= 0 \end{split}\]

(2)

\[f_n(x) \coloneqq \frac{n\sin\frac{x}{n}}{x(1+x^2)}\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]} = \frac{\sin\frac{x}{n}}{\frac{x}{n}}\frac{1}{(1+x^2)}\mathbb{1}_{[\frac{1}{n},n]}\] と定める。

\({}^{\forall}n\in\mathbb{N}\)に対して \[\lvert{f_n(x)}\rvert \leq \frac{1}{1+x^2}\] であり、 \[\int_{\mathbb{R}}\frac{1}{1+x^2}\mathop{\mathrm{d}{x}} = \pi < \infty\] であるから、DCTより \[\begin{split} \lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f_n(x)\mathop{\mathrm{d}{x}} &= \int_{\mathbb{R}}\lim_{n\to\infty}f_n(x)\mathop{\mathrm{d}{x}} \\ &= \int_{\mathbb{R}}\frac{1}{1+x^2}\mathbb{1}_{(0,\infty)}\mathop{\mathrm{d}{x}} \\ &= \frac{\pi}{2} \end{split}\]