演習課題4

佐野博亮

2024年10月30日

(1)

tex2cos(2xt)=2xex2sin(2xt) である。ここで、 h(x)=2xex2 とおくと、 0h(x)=1< より、hL1((0,))である。

|tex2cos(2xt)|h(x) であるので、 F(t)=ddt0ex2cos(2xt)dx=0tex2cos(2xt)dx=02xex2sin(2xt)dx=02tex2cos(2xt)dx=2tF(t)

(2)

微分方程式を解くと F(t)=Cet2 となる。ただし、Cは積分定数である。また F(0)=0ex2dx=π2 であるから、C=π2がわかる。したがって F(t)=π2et2