演習課題4 佐野博亮 2024年10月30日 (1) ∂∂te−x2cos(2xt)=−2xe−x2sin(2xt) である。ここで、 h(x)=2xe−x2 とおくと、 ∫0∞h(x)=1<∞ より、h∈L1((0,∞))である。 |∂∂te−x2cos(2xt)|≤h(x) であるので、 F′(t)=ddt∫0∞e−x2cos(2xt)dx=∫0∞∂∂te−x2cos(2xt)dx=∫0∞−2xe−x2sin(2xt)dx=∫0∞−2te−x2cos(2xt)dx=−2tF(t) (2) 微分方程式を解くと F(t)=Ce−t2 となる。ただし、Cは積分定数である。また F(0)=∫0∞e−x2dx=π2 であるから、C=π2がわかる。したがって F(t)=π2e−t2