演習課題4

(1)

\[\frac{\partial{}}{\partial{t}}e^{-x^2}\cos(2xt) = -2xe^{-x^2}\sin(2xt)\] である。ここで、 \[h(x) = 2xe^{-x^2}\] とおくと、 \[\int_0^{\infty}h(x) = 1 < \infty\] より、\(h\in L^1((0,\infty))\)である。

\[\left\lvert\frac{\partial{}}{\partial{t}}e^{-x^2}\cos(2xt)\right\rvert \leq h(x)\] であるので、 \[\begin{split} F'(t) &= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}}\int_0^{\infty}e^{-x^2}\cos(2xt)\mathrm{d}{x} \\ &= \int_0^{\infty}\frac{\partial{}}{\partial{t}}e^{-x^2}\cos(2xt)\mathrm{d}{x} \\ &= \int_0^{\infty}-2xe^{-x^2}\sin(2xt)\mathrm{d}{x} \\ &= \int_0^{\infty}-2te^{-x^2}\cos(2xt)\mathrm{d}{x} \\ &= -2tF(t) \\ \end{split}\]

(2)

微分方程式を解くと \[F(t) = Ce^{-t^2}\] となる。ただし、\(C\)は積分定数である。また \[F(0) = \int_0^{\infty}e^{-x^2}\mathrm{d}{x} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\] であるから、\(C = \frac{\sqrt{\pi}}{2}\)がわかる。したがって \[F(t) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-t^2}\]