演習課題5

(1)

左辺において、\(t=\frac{x}{n}\)とおくと、 \[(\text{左辺}) = \int_0^1 n^s t^{s-1} (1-t)^n \mathrm{d}{t}\] \(B\)関数の定義より \[(\text{左辺}) = n^s B(s,n+1)\] \(B\)関数についての定理より \[(\text{左辺}) = n^s \frac{\Gamma(s)\Gamma(n+1)}{\Gamma(s+n+1)}\] ここで、\(\Gamma\)関数についての定理より \[\begin{gathered} \Gamma(n+1) = n! \\ \frac{\Gamma(s+n+1)}{\Gamma(s)} = s\cdots(s+n)\end{gathered}\] であるから \[(\text{左辺}) = \frac{n^s\cdot n!}{s\cdots(s+n)}\]

(2)

\[\int_0^n x^{s-1}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\mathrm{d}{x} = \int_0^{\infty} \underbrace{x^{s-1}\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\mathbb{1}_{[0,n]}}_{f_n(x)}\mathrm{d}{x}\] 被積分関数を\(f_n(x)\)とおき、 \[f(x) = x^{s-1}e^{-x}\] とおく。

まず、任意の\(x\in[0,\infty]\)に対して \[\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\mathbb{1}_{[0,n]}\] は\(n\)について単調増加である。加えて、 \[\begin{split} \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{x}{n}\right)^n\mathbb{1}_{[0,n]} &= \lim_{n\to\infty} \left(1-\frac{x}{n}\right)^n \\ &= \lim_{t\to0} (1+t)^{\frac{1}{t}(-x)} \\ &= e^{-x} \end{split}\] であるから、\(f_n\to f\)および\(\lvert{f_n}\rvert\leq f\)が成り立つ。

次に、 \[\int_0^{\infty}f(x)\mathrm{d}{x} = \int_0^1 x^{s-1}e^{-x}\mathrm{d}{x} + \int_1^{\infty} x^{s-1}e^{-x}\mathrm{d}{x}\] について、

• 第\(1\)項について、\(s>0\)より \[\int_0^1 x^{s-1}e^{-x}\mathrm{d}{x} \leq \int_0^1 x^{s-1}\mathrm{d}{x} = \frac{1}{s} < \infty\]

• 第\(2\)項について、\(x^{s-1}e^{-\frac{x}{2}}\)は\([1,\infty]\)において連続であり、\(x\to\infty\)で\(0\)に収束するので、ある上界\(M\in\mathbb{R}\)が存在して \[\lvert{x^{s-1}e^{-\frac{x}{2}}}\rvert \leq M\] が成り立つ。したがって \[\int_1^{\infty} x^{s-1}e^{-\frac{x}{2}}e^{-\frac{x}{2}}\mathrm{d}{x} \leq M\int_1^{\infty} e^{-\frac{x}{2}}\mathrm{d}{x} = 2e^{-\frac{1}{2}}M < \infty\]

よって、\(f\in L^1([0,\infty])\)が示された。

以上より、Lebesgueの収束定理より \[\lim_{n\to\infty} \int_0^{\infty} f_n(x)\mathrm{d}{x} = \int_0^{\infty} f(x)\mathrm{d}{x} = \Gamma(s)\]

(3)

(1)および(2)より \[\begin{split} \frac{1}{\Gamma(s)} &= \lim_{n\to\infty} \frac{s(s+1)\cdots(s+n)}{n^s\cdot n!} \\ &= \lim_{n\to\infty} \frac{s}{n^s} \prod_{\nu=1}^{n} \left(1+\frac{s}{\nu}\right) \end{split}\] 1を掛けて \[\begin{split} \frac{1}{\Gamma(s)} &= \lim_{n\to\infty} s \underline{ \left( n^{-s} \prod_{\nu=1}^{n} e^{\frac{s}{\nu}} \right) } \prod_{\nu=1}^{n} \left(1+\frac{s}{\nu}\right) e^{-\frac{s}{\nu}} \end{split}\] 下線部は\(e^{s\gamma}\)に収束するので \[\begin{split} \frac{1}{\Gamma(s)} &= s e^{s\gamma} \lim_{n\to\infty} \prod_{\nu=1}^{n} \left(1+\frac{s}{\nu}\right) e^{-\frac{s}{\nu}} \\ &= s e^{s\gamma} \prod_{n=1}^{\infty} \left(1+\frac{s}{n}\right) e^{-\frac{s}{n}} \end{split}\] となる。