演習課題7

(1)

\[\|{f}\|_{L^p}=\left(\int_0^1\left\lvert{\frac{1}{x^a}}\right\rvert^p\mathrm{d}{x}\right)^{1/p}=\left(\int_0^1\frac{1}{x^{ap}}\mathrm{d}{x}\right)^{1/p}\]

• \(ap<1\)のとき \[\int_0^1\frac{1}{x^{ap}}\mathrm{d}{x}=\frac{1}{1-ap}\] であるから\(\|{f}\|_{L^p}<\infty\)が成り立つ。

• \(ap\geq1\)のとき \[\int_0^1\frac{1}{x^{ap}}\mathrm{d}{x}\geq\int_0^1\frac{1}{x}\mathrm{d}{x}=\infty\] であるから\(\|{f}\|_{L^p}=\infty\)が成り立つ。

以上より\(f\in L^p((0,1))\)となるのは\(ap<1\)のときでありそのときに限る。

(2)

• \(a\leq0\)のとき \[\left\lvert{\frac{1}{x^a}}\right\rvert\leq1 \qquad (x\in(0,1))\] であるから \[\mu\bigl(\bigl\lbrack\lvert{f}\rvert>1\bigr\rbrack_{(0,1)}\bigr) = \mu(\emptyset) = 0\] したがって \[\|{f}\|_{L^{\infty}}<\infty\]

• \(a>0\)のとき 任意の\(t>1\)に対して \[\left\lvert{\frac{1}{x^a}}\right\rvert>t \qquad (x\in(0,t^{-1/a}))\] であるから \[\mu\bigl(\bigl\lbrack\lvert{f}\rvert>t\bigr\rbrack_{(0,1)}\bigr) \geq \mu((0,t^{-1/a})) > 0\] したがって \[\|{f}\|_{L^{\infty}}=\infty\]

以上より\(f\in L^{\infty}((0,1))\)となるのは\(a\leq0\)のときでありそのときに限る。

(3)

\[\|{f}\|_{L^p}=\left(\int_1^\infty\left\lvert{\frac{1}{x^a}}\right\rvert^p\mathrm{d}{x}\right)^{1/p}=\left(\int_1^\infty\frac{1}{x^{ap}}\mathrm{d}{x}\right)^{1/p}\]

• \(ap>1\)のとき \[\int_1^\infty\frac{1}{x^{ap}}\mathrm{d}{x}=\frac{1}{ap-1}\] であるから\(\|{f}\|_{L^p}<\infty\)が成り立つ。

• \(ap\leq1\)のとき \[\int_1^\infty\frac{1}{x^{ap}}\mathrm{d}{x}\geq\int_1^\infty\frac{1}{x}\mathrm{d}{x}=\infty\] であるから\(\|{f}\|_{L^p}=\infty\)が成り立つ。

以上より\(f\in L^p([1,\infty))\)となるのは\(ap>1\)のときでありそのときに限る。

(4)

• \(a\geq0\)のとき \[\left\lvert{\frac{1}{x^a}}\right\rvert\leq1 \qquad (x\in[1,\infty))\] したがって \[\mu\bigl(\bigl\lbrack\lvert{f}\rvert>1\bigr\rbrack_{[1,\infty)}\bigr) = \mu(\emptyset) = 0\] であるから\(\|{f}\|_{L^{\infty}}<\infty\)が成り立つ。

• \(a<0\)のとき 任意の\(t>1\)に対して \[\left\lvert{\frac{1}{x^a}}\right\rvert>t \qquad (x\in(t^{-1/a},\infty))\] したがって \[\mu\bigl(\bigl\lbrack\lvert{f}\rvert>t\bigr\rbrack_{[1,\infty)}\bigr) \geq \mu((t^{-1/a},\infty)) > 0\] であるから\(\|{f}\|_{L^{\infty}}=\infty\)が成り立つ。

以上より\(f\in L^{\infty}([1,\infty))\)となるのは\(a\geq0\)のときでありそのときに限る。