演習課題8
2024年11月17日
意味 \[\begin{aligned} \|{f}\|&=\sup_{x\in\mathbb{R}}\lvert{f(x)}\rvert\\ \|{f}\|_{L^{\infty}}&=\mathop{\mathrm{ess\,sup}}_{x\in\mathbb{R}}\lvert{f(x)}\rvert \end{aligned}\] について、連続関数では\(\|{f}\|=\|{f}\|_{L^{\infty}}\)が成り立つことを示す問いである。
定義 \[\|{f}\|_{L^{\infty}}=\inf\bigl\{a\geq0\bigm\vert\mu([\lvert{f}\rvert>{a}])=0\bigr\}\]
(1)
\(\|{f}\|\)の定義より（\(\lvert{f(x)}\rvert\)全体の上限であるから） \[\begin{gathered} {}^{\forall}x\in\mathbb{R},\quad\|{f}\|\geq\lvert{f(x)}\rvert\\ \therefore\bigl[\lvert{f}\rvert>\|{f}\|\bigr]=\emptyset\end{gathered}\] したがって、測度の定義より \[\begin{gathered} \mu\bigl(\bigl[\lvert{f}\rvert>\|{f}\|\bigr]\bigl)=0\end{gathered}\] また、\(\|{f}\|\geq0\)であるから \[\|{f}\|\in\bigl\{a\geq0\bigm\vert\mu([\lvert{f}\rvert>{a}])=0\bigr\}\] \(\|{f}\|_{L^{\infty}}\)の定義より（上の集合の下限であるから） \[\|{f}\|_{L^{\infty}}\leq\|{f}\|\] が成り立つ。
(2)解1
方針 任意の\(t<\|{f}\|\)に対して、\(t\notin\{a\geq0\mid\mu([\lvert{f}\rvert>a])=0\}\)を示す。
\(f\)は連続であるから、\(\lvert{f}\rvert\)も連続である。
任意の\(t<\|{f}\|\)を与える。\(\|{f}\|\)の定義より、ある\(c\in\mathbb{R}\)が存在して\(\lvert{f(c)}\rvert>t\)が成り立つ。\(\varepsilon=\lvert{f(c)}\rvert-t>0\)と定めると、\(\lvert{f}\rvert\)の連続性より、\({}^{\exists}\delta>0\)に対して \[\begin{split} {}^{\forall}x\in\mathbb{R},\ \lvert{x-c}\rvert<\delta &{}\implies \bigl\lvert{\lvert{f(x)}\rvert-\lvert{f(c)}\rvert}\bigr\rvert<\varepsilon\\ &{}\implies \lvert{f(x)}\rvert>\lvert{f(c)}\rvert-\varepsilon=t \end{split}\] である。よって、 \[\mu\bigl(\bigl[\lvert{f}\rvert>t\bigr]\bigl)\geq\mu((c-\delta,c+\delta))>0\] となり、\(t\notin\{a\geq0\mid\mu([\lvert{f}\rvert>a])=0\}\)である。
したがって、\(\|{f}\|_{L^{\infty}}\)の定義より\(\|{f}\|_{L^{\infty}}\geq\|{f}\|\)である。ただし、これは空集合のときも成り立つ。
(2)解2
方針 背理法を用いる。
\(f\)は有界で連続であるから、\(\lvert{f}\rvert\)も有界で連続である。 \[\begin{aligned} A&=\{a\geq0\mid\mu([\lvert{f}\rvert>a])=0\}\\ B&=\{\lvert{f(x)}\rvert\mid x\in\mathbb{R}\}\end{aligned}\] とおく。
準備
\(A\neq\emptyset\)を示す。
\(\lvert{f}\rvert\)は有界であるから、上界\(M\)が存在する。このとき \[\lbrack\lvert{f}\rvert>M\rbrack=\emptyset\] であるから、\(M\in A\)である。したがって、\(A\)は空でない。
本論
\({}^{\forall}a\in A,\ {}^{\forall}b\in B\)を与える。このときある\(c\in\mathbb{R}\)が存在して\(\lvert{f(c)}\rvert=b\)が成り立つ。
\(a\geq b\)つまり\(a\geq\lvert{f(c)}\rvert\)を示す。
\(a<\lvert{f(c)}\rvert\)と仮定する。\(\varepsilon=\lvert{f(c)}\rvert-a>0\)と定める。関数\(\lvert{f}\rvert\)の連続性より、 \[{}^{\exists}\delta>0,\ \text{s.t.}\ {}^{\forall}x\in\mathbb{R},\quad\lvert{x-c}\rvert<\delta\implies\bigl\lvert\lvert{f(x)}\rvert-\lvert{f(c)}\rvert\bigr\rvert<\varepsilon\] である。したがって、 \[\begin{gathered} {}^{\forall}x\in(c-\delta,c+\delta),\quad\lvert{f(x)}\rvert>\lvert{f(c)}\rvert-\varepsilon=a \\ \therefore \mu([\lvert{f}\rvert>a])\geq\mu((c-\delta,c+\delta))>0\end{gathered}\] となり、\(a\notin A\)となる。したがって、\(a\geq b\)である。