佐野博亮
2024年9月18日
まず、結合律を確かめる。f:A→B,g:B→C,h:C→Df\colon A\to B,\ g\colon B\to C,\ h\colon C\to Dとする。h∘(g∘f)h\circ(g\circ f)について h∘(g∘f)={⟨a,d⟩∈A×D|∃c∈Cs.t.⟨a,c⟩∈(g∘f)and⟨c,d⟩∈h}={⟨a,d⟩∈A×D|∃c∈Cs.t.(∃b∈Bs.t.⟨a,b⟩∈fand⟨b,c⟩∈g)and⟨c,d⟩∈h}\begin{split} h\circ(g\circ f) &= \left\{ \langle{a,d}\rangle \in A\times D \;\middle\vert\;{}^{\exists}c\in C\ \text{s.t.}\ \langle{a,c}\rangle\in(g\circ f)\ \text{and}\ \langle{c,d}\rangle\in h \right\} \\ &= \left\{ \langle{a,d}\rangle \in A\times D \;\middle\vert\;{}^{\exists}c\in C\ \text{s.t.}\ \left({}^{\exists}b\in B\ \text{s.t.}\ \langle{a,b}\rangle\in f\ \text{and}\ \langle{b,c}\rangle\in g\right)\ \text{and}\ \langle{c,d}\rangle\in h \right\} \end{split} (h∘g)∘f(h\circ g)\circ fについて (h∘g)∘f={⟨a,d⟩∈A×D|∃b∈Bs.t.⟨a,b⟩∈fand⟨b,d⟩∈(h∘g)}={⟨a,d⟩∈A×D|∃b∈Bs.t.⟨a,b⟩∈fand(∃c∈Cs.t.⟨b,c⟩∈gand⟨c,d⟩∈h)}\begin{split} (h\circ g)\circ f &= \left\{ \langle{a,d}\rangle \in A\times D \;\middle\vert\;{}^{\exists}b\in B\ \text{s.t.}\ \langle{a,b}\rangle\in f\ \text{and}\ \langle{b,d}\rangle\in(h\circ g) \right\} \\ &= \left\{ \langle{a,d}\rangle \in A\times D \;\middle\vert\;{}^{\exists}b\in B\ \text{s.t.}\ \langle{a,b}\rangle\in f\ \text{and}\ \left({}^{\exists}c\in C\ \text{s.t.}\ \langle{b,c}\rangle\in g\ \text{and}\ \langle{c,d}\rangle\in h\right) \right\} \end{split} 以上より h∘(g∘f)=(h∘g)∘fh\circ(g\circ f) = (h\circ g)\circ f
次に、単位元の性質を確かめる。f:A→Bf\colon A\to Bとすると f∘1A={⟨a,b⟩∈A×B|∃a′∈As.t.⟨a,a′⟩∈1Aand⟨a′,b⟩∈f}={⟨a,b⟩∈A×B|∃a′∈As.t.a=a′and⟨a′,b⟩∈f}={⟨a,b⟩∈A×B|⟨a,b⟩∈f}=f1B∘f={⟨a,b⟩∈A×B|∃b′∈Bs.t.⟨a,b′⟩∈fand⟨b′,b⟩∈1B}={⟨a,b⟩∈A×B|∃b′∈Bs.t.⟨a,b′⟩∈fandb′=b}={⟨a,b⟩∈A×B|⟨a,b⟩∈f}=f\begin{gathered} \begin{split} f\circ1_A &= \left\{ \langle{a,b}\rangle\in A\times B \;\middle\vert\;{}^\exists a'\in A\ \text{s.t.}\ \langle{a,a'}\rangle\in1_A\ \text{and}\ \langle{a',b}\rangle\in f \right\} \\ &= \left\{ \langle{a,b}\rangle\in A\times B \;\middle\vert\;{}^\exists a'\in A\ \text{s.t.}\ a=a'\ \text{and}\ \langle{a',b}\rangle\in f \right\} \\ &= \left\{ \langle{a,b}\rangle\in A\times B \;\middle\vert\;\langle{a,b}\rangle\in f \right\} \\ &= f \end{split} \\ \begin{split} 1_B\circ f &= \left\{ \langle{a,b}\rangle\in A\times B \;\middle\vert\;{}^\exists b'\in B\ \text{s.t.}\ \langle{a,b'}\rangle\in f\ \text{and}\ \langle{b',b}\rangle\in1_B \right\} \\ &= \left\{ \langle{a,b}\rangle\in A\times B \;\middle\vert\;{}^\exists b'\in B\ \text{s.t.}\ \langle{a,b'}\rangle\in f\ \text{and}\ b'=b \right\} \\ &= \left\{ \langle{a,b}\rangle\in A\times B \;\middle\vert\;\langle{a,b}\rangle\in f \right\} \\ &= f \end{split} \\\end{gathered}