Exercise 1.2

(a)

$\mathbf{Rel}\cong\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$は成り立つ。

関手$F\colon \mathbf{Rel}\to\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$を次のように定める。$A$を$\mathbf{Rel}$の対象とすると $$F(A) \coloneq \overline{A}$$ は$\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$の対象である。$f\colon A\to B$を$\mathbf{Rel}$の射とすると $$f' \coloneq \left\{ \angle{b,a}\in B\times A \;\middle\vert\;\angle{a,b}\in f \right\} \colon B\to A$$ は$\mathbf{Rel}$の射であり $$F(f) \coloneq \overline{f'} \colon \overline{A}\to\overline{B}$$ は$\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$の射である。

このとき、$F$が関手であることは次のように確かめられる。まず、$\mathbf{Rel}$の射$f\colon A\to B$において$F(A)=\overline{A},\ F(B)=\overline{B}$であるから、 $$F(f) \colon F(A)\to F(B)$$ である。また、$\mathbf{Rel}$の射$f\colon A\to B,\ g\colon B\to C$において、$(g\circ f)'=f'\circ g'$が成り立つので $$F(g\circ f) = \overline{(g\circ f)'} = \overline{f'\circ g'} = \overline{g'}\circ\overline{f'} = F(g)\circ F(f)$$ が成り立つ。また、$\mathbf{Rel}$の対象$A$に対して、$1_A'=1_A$であるから $$F(1_A) = \overline{1_A'} = \overline{1_A} = 1_{\overline{A}} = 1_{F(A)}$$ が成り立つ。以上より、関手$F\colon \mathbf{Rel}\to\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$は関手である。

関手$G\colon \mathbf{Rel}^\mathrm{op}\to\mathbf{Rel}$を次のように定める。$\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$の対象$\overline{A}$および$\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$の射$\overline{f}\colon \overline{A}\to \overline{B}$に対して $$\begin{gathered} G(\overline{A}) \coloneq A \\ G(\overline{f}) \coloneq f' \colon A \to B\end{gathered}$$ $G\colon \mathbf{Rel}^\mathrm{op}\to\mathbf{Rel}$が関手であることも同様に確かめられる。

このとき $$\begin{gathered} G(F(f)) = G(\overline{f'}) = f'' = f \\ F(G(\overline{f})) = F(f') = \overline{f''} = \overline{f}\end{gathered}$$ より、$\mathbf{Cat}$において$F,G$は同型射であるから、$\mathbf{Rel},\mathbf{Rel}^\mathrm{op}$は同型である。

(b)

$\mathbf{Sets}\cong\mathbf{Sets}^\mathrm{op}$は成り立たない。

$\mathbf{Sets}$における始対象は$\emptyset$のみであるから、$\mathbf{Sets}^\mathrm{op}$における終対象は$\overline{\emptyset}$のみである。また、$\mathbf{Sets}$における終対象はすべての一元集合であるから2つ以上存在する。圏の同型射は終対象を保つので、終対象の個数の異なる$\mathbf{Sets},\mathbf{Sets}^\mathrm{op}$の間の同型射は存在しない。

(c)

$P(X)\cong P(X)^\mathrm{op}$は成り立つ。

関手$F\colon P(X)\to P(X)^\mathrm{op}$を次のように定める。$A$を$P(X)$の対象とすると $$F(A) \coloneq \overline{A^{\mathrm{c}}}$$ は$P(X)^\mathrm{op}$の対象である。$f\colon A\to B$を$P(X)$の射とすると $$f' \coloneq B^{\mathrm{c}} \to A^{\mathrm{c}}$$ は$P(X)$の射であり $$F(f) \coloneq \overline{f'} \colon \overline{A^{\mathrm{c}}}\to\overline{B^{\mathrm{c}}}$$ は$P(X)^\mathrm{op}$の射である。

関手$G\colon P(X)^\mathrm{op}\to P(X)$を次で定める。$P(X)^\mathrm{op}$の対象$A$および$P(X)^\mathrm{op}$の射$\overline{f}\colon\overline{A}\to\overline{B}$に対して $$\begin{gathered} G(\overline{A}) \coloneq A^{\mathrm{c}} \\ G(\overline{f}) \coloneq f' \colon A^{\mathrm{c}} \to B^{\mathrm{c}}\end{gathered}$$

このとき $$\begin{gathered} G(F(f)) = G(\overline{f'}) = f'' = f \\ F(G(\overline{f})) = F(f') = \overline{f''} = \overline{f}\end{gathered}$$ より、$\mathbf{Cat}$において$F,G$は同型射であるから、$P(X),P(X)^\mathrm{op}$は同型である。