Exercise 1.3

(a)

$f\colon A\to B$を$\mathbf{Sets}$における同型射とする。このとき、$\mathbf{Sets}$の射$g\colon B\to A$が存在して $$g\circ f = 1_A,\ f\circ g = 1_B$$ が成り立つ。${}^{\forall}b\in B$に対して$f(g(b))=b$より$f$は全写像である。${}^{\forall}a_1,a_2\in A$に対して$f(a_1)=f(a_2)$と仮定すると$a_1=g(f(a_1))=g(f(a_2))=a_2$より$f$は単写像である。よって$f$は全単写像である。

$f\colon A\to B$を全単写像とする。${}^{\forall}b\in B$を与える。$f$は全写像であるから、ある$a_b\in A$が存在して$f(a_b)=b$が成り立つ。$f$は単写像であるから、$f(a_{b,1})=f(a_{b,2})=b$と仮定すると$a_{b,1}=a_{b,2}$である。以上より、ある$a_b\in A$がただ1つ存在して$f(a_b)=b$が成り立つ。写像$g\colon B\to A$を$g(b)=a_b$と定められる。このとき、${}^{\forall}b\in B$に対して$f(g(b))=b$が成り立つ。また、${}^{\forall}a\in A$に対して$f(g(f(a)))=f(a)$が成り立ち、$f$は単写像であるから$g(f(a))=a$が成り立つ。以上より、$g$は$f$の逆写像である。つまり、$\mathbf{Sets}$において$g$は$f$の逆射である。よって、$f$は同型射である。

(b)

同型射は全単射であり、準同型写像である。

$F\colon A\to B$を準同型写像とし、その逆写像$G\colon B\to A$が存在するとする。${}^{\forall}b_1,b_2\in B$を与える。$F$は準同型写像であるから $$F(G(b_1 b_2)) = b_1 b_2 = F(G(b_1)) F(G(b_2)) = F(G(b_1) G(b_2))$$ $F$は単写像であるから $$G(b_1 b_2) = G(b_1) G(b_2)$$ が成り立つ。よって、$G$は準同型写像である。つまり、$F$および$F$の逆写像$G$はともに$\mathbf{Monoids}$の射である。ゆゑに、$\mathbf{Monoids}$において$F$は同型射である。

(c)

準同型写像で全単射であり、同型射でない例を挙げる。半順序集合$A=(\{a_1,a_2\},\leq_A)$および$B=(\{b_1,b_2\},\leq_B)$をそれぞれ次のように定める。 $$\begin{aligned} {4} a_1 &\leq_A a_1, &\quad a_2 &\leq_A a_2, &\quad a_1 &\nleq_A a_2, &\quad a_2 &\nleq_A a_1 \\ b_1 &\leq_B b_1, &\quad b_2 &\leq_B b_2, &\quad b_1 &\leq_B b_2, &\quad b_2 &\nleq_B b_1\end{aligned}$$ このとき、写像$F\colon A\to B$を $$F(a_1) = b_1, \quad F(a_2) = b_2$$ と定めると、$F$は全単射である。また、$F$は順序を保つが$F$の逆写像$G$は順序を保たない。よって、$F$は$\mathbf{Posets}$の射であるが同型射でない。